赵新锐 / 记录整理

麻希南 / 校对

原载于《数学文化》2019第10卷第3期

编者按：洛朗• 拉福格（Laurent Lafforgue）是法国数学家，曾获得 1984 年和 1985 年的奥数银牌，1994 年获得巴黎高师博士学位。2002 年在北京举行的第 24 届国际数学家大会上荣获菲尔兹奖，表彰他对数论和代数几何研究做出的突出贡献。2000 年起他担任法国高等科学研究所教授，2003 年获选法兰西科学院院士。他的弟弟樊尚 • 拉福格（Vincent Lafforgue）2018 因“对数学若干领域的开创性贡献，特别是朗兰兹纲领”获得数学突破奖。受中国科学技术大学数学学院的邀请，洛朗 • 拉福格教授于 2019 年 1 月 14-19 日访问中国科大，并出任中国科大“中法数学英才班”法方委员会主任，他 16 日上午参加了科大“中法数学英才班”启动仪式。17 日上午与科大数学学院学生座谈。下面是座谈记录，由 2016 级华罗庚班赵新锐同学整理。感谢麻希南教授校对。

拉福格教授 ：大家早上好 ! （以下简称教授）

麻希南教授 ：很高兴能邀请到来自法国高等数学研究所的拉福格教授和科大2005 级的校友谢俊逸参加座谈，大家可以畅所欲言。这是我们事先准备的一些问题。好的，我们开始吧。

教授 ：很高兴能见到这么多热爱数学的年轻人，我可以问下大家都是大学几年级的学生吗？大一，大二，大三，或是大四？大家大概在大学中学习了多长时间？

（大一，大二，大三，大四的学生依次举手）

教授 ：好的，对大四学生，我想你们已经对自己的专业方向有所选择了，你们所选择的数学方向是什么呢？上过哪些课呢？比如说是代数、分析、几何，或是数学物理？

同学 ：我学习的是几何方向。

教授 ：好的，是什么类型的几何呢？微分几何或是其它？

同学 ：是微分几何。

教授 ：好的。我刚刚收到了大家提的很多问题。第一个是 ：“您如何看待现代数学的发展越来越抽象化和专业化？”（张俊升提供）是的，随着数学逐渐发展为一个越来越庞大、复杂的学科，任何人都很难对某个问题给出一个全面的回答，即使是数学工作者，也只能了解一部分的数学。举例来说，即使你是数学家，当你打开一本数学期刊，阅读上面的论文时，你也会发现很难理解大部分论文。这意味着，对于学生而言，有时你需要阅读数学期刊，你会发现大部分论文你都读不懂，甚至会因此感到担心。但是，正如我所说的，这种情况其实很正常，所有人都面临这种状态 , 所以你不必为此而恐慌。数学正在变得越来越分工化、专业化，这确实是我们面临的问题，这导致所有数学家都只了解小部分数学。事实上，这在数学发展过程中是必然的。为了进行数学研究，数学家必须精于某一专业，这也是最佳的研究方法。这也许是个好现象，在这种情况下，你能保持对特定领域的兴趣与热情。事实上，这种现象在其他学科中也同样存在，尤其是在物理中。当然，数学与物理也有很深的渊源。所以，我认为，如果你是一个数学家，面对这种情况，至少与某些物理学家保持交流沟通是很有好处的。你们正在读大学，事实上，“大学”的英文“university”与“普遍的”的英文“universal”是同源的，这意味着“大学”是一个多学科同时发展的研究机构。大学为来自不同领域、不同学科的学者相聚提供了良好的机会，这也正是大学存在的意义。所以我认为与来自其他领域的学者交流很有好处，即使你不能完全理解他们的工作，但至少可以从相互交流中获得启发，这样可以避免你仅局限于某一个领域。关于抽象性的问题，这也是一个重要的问题，随着时代的发展，数学正变得越来越抽象化。事实上，正是抽象性使得数学更为强大。具体来说，当你面对某个数学对象时，你可以从中提炼出它的某些关键性质与特点，随后你将这个特性从具体的情景中抽取出来，从此之后，只要在抽象层面充分理解这个关键性质，你就可以将结论应用于所有与其相关的具体情境。举个例子，比如线性代数，它起源于对于具体事物的计算，随后人们意识到很多数学家都在做相同或相近的计算，比如加，乘等等。当意识到这些运算的相似性后，人们将它抽象化，命名成线性代数。这只是其中一个例子，抽象使我们能将某种处理方法在不同的情境中加以运用，从而功能强大，我相信你们对此也有所体会。再举一个关于抽象性使得数学变得更有力的例子。19 世纪的时候，人们解决了希腊数学家 2000 多年前提出的用尺规“倍立方体”和“三等分角”问题，即在已知单位长度的条件下，是否存在某种方法，使得可以仅用直尺和圆规做出 2 的三次方根，以及三等分任意的角。这些问题经历了 2000 多年，直到 19 世纪，人们才发展出相应的数学理论加以回答。事实上，对这两个问题的解答与域扩张理论相联系，给定某个域 Q之后，考虑某个比它要大的域 G，解决问题的关键在于把 G 看作 Q 上的向量空间，从而使得我们可以讨论G 作为 Q 上向量空间的维数。在这个例子中，我们使用了一个来自几何的概念，我们都清楚曲面的维数是 2，而所处的空间是 3 维的。所以维数的概念是从具体的经验中产生的，但是却是以抽象的方式定义的，向量空间的维数也由此而生。这并不是一个复杂的概念，而是由具体经验所支撑的，一旦你掌握了，就会认为这是简单而自然的。但当我们面对这个具体的尺规作图问题时，维数这个概念使得我们能够解决这个两千余年的悬而未决的问题。从这个角度而言，抽象化对数学本身的发展有利，但从另一方面而言，过度抽象化有时也很危险。其危险性在于在建立抽象概念的时候，很可能会失去在具体问题中所具有的内在联系。所以我认为最好兼顾抽象性和具体性。如果你想成为数学工作者，或是有效地使用数学作为工具，那你不仅需要学习抽象的知识，也需要了解其与具体例子之间的联系。举例来说，在学习“域上向量空间的维数”这个概念时，你需要知道它在具体例子中的含义。如果你将具体和抽象相结合，数学会成为一个更为强大的工具。也许你会想知道“理解”的深层含义，我个人的解释是，“理解”意味着多角度，即用不同的观点看待同一个问题。特别地，你需要将具体和抽象相结合。

教授 ：好的，第二个问题是 ：“请问您可以给对代数几何有兴趣的本科生一些学习建议吗，谢谢！”（赵新锐提供）这是一个好问题，我想也许你是想了解一些学习代数几何的参考书。诚然，现在有一些学习代数几何的经典教材，很多同学通过学习哈茨霍恩（Robin Hartshorne）的代数几何书入门，我个人对初学者的建议是芒福德（David Mumford）的 The Red Book of Varieties and Schemes

同学 ：请问您是说的红宝书吗？

教授 ：是的，这本书非常好。事实上，芒福德将抽象概念与具体例子结合的很好，他活跃于上世纪60 年代，这也是格罗滕迪克和新代数几何的黄金时代，芒福德是最早研究新代数几何的青年数学家之一。事实上，当时的老一辈数学家认为学习格罗滕迪克的新代数几何是很困难的，正是在这个背景下，芒福德努力向其他数学家解释格罗滕迪克艰深而抽象的概念的具体含义，他成为了联系格罗滕迪克的抽象概念和具体问题的专家，而之前提到的这本书也正是出于这个目的而写的。他写过很多相关的书，比如有关于代数曲面的 Algebraic Surfaces，这些书都是很基础的，但是我认为它们是学习现代代数几何很好的入门教材。当然，之后他也写了很多书，事实上，他所写的书都很好，他为我们提供了学术写作的范例，我毫无保留地推荐芒福德所写的书籍。之前提到的书是基础的，当你学习了足够多的知识之后，当然你想读一些更前沿的书籍，对这个阶段的学生，我推荐芒福德写的 Abelian Varieties，还有他参与编写的 Tata Lectures on Theta。事实上，Theta 函数理论是代数几何的经典问题，对它的研究可以追溯到 19 世纪，这是一个非常经典的概念。在Tata Lectures on Theta 这本书中，芒福德将这个经典概念与格罗滕迪克的新代数几何相联系。可以说，这本书也是将具体问题与抽象观点相联系的一个范例。芒福德完成了另一本书Geometric Invariant Theory, 它所描述是一个非常重要的问题，你有一个几何对象，同时也是一个代数簇，有一个群作用于这个对象，你尝试建立它在这个群作用下的不变量。这类问题在几何中随处可见，不仅是代数几何，还有微分几何。芒福德研究这类问题的方法受到希尔伯特的影响，事实上，对于不变量的研究在 19 世纪末 20 世纪初非常流行，特别的，希尔伯特本人参与了这方面的研究，德国数学家埃米 • 诺特也在这方面做出了贡献。在那个历史时期，人们对这类问题有很全面的研究和思考。举例来说，有一个群作用于多项式代数，他们考虑在这个群作用下不变的子代数。芒福德所做的是从格罗滕迪克的语言重新叙述希尔伯特的经典结果，并随之给出了一个新的理论，这个理论关注“稳定性”，并且引入了稳定和半稳定的概念，这些概念正是在希尔伯特的经典结果与格罗滕迪克的新代数几何相遇时产生的，换言之，是在具体直观的经典理论与抽象艰涩的现代代数几何的结合中产生的。如今，稳定和半稳定的概念在数学中是十分重要的，不仅是在芒福德所研究的背景下影响深远，而且扩展到了数学的其他领域，甚至是物理。事实上，在我法国的研究所，我经常见到我的许多同事讨论这些概念，比如康采维奇（Maxim Kontsevich ）和他的一些学生经常讨论稳定性和半稳定性的概念，但其所处的领域与芒福德不同。它还有很多其他的应用，比如对新的一族 Zeta 函数的定义，这个定义是由一个中国数学家给出的。这个定义运用了半稳定性的概念。这类 Zeta 函数与某个整体域相联系，即有理数域的有限扩张，或是函数域。同时，这类Zeta 函数也与一个群相联系。与经典的 Zeta 函数相对应的情况是整体域是有理数域，群是乘法群。相应的 Zeta 函数的概念建立在半稳定性概念的基础上。有猜测这类 Zeta 函数满足经典Zeta 函数的性质，包括解析延拓，函数方程和黎曼猜想，而前两个性质已经得到了证明。关于黎曼猜想，当对应的群是半单的，而且没有交换部分，即这个群高度非交换时，可以对这类 Zeta 函数证明黎曼猜想。正是在半稳定性概念的基础上，我们才能引进这个新的 Zeta 函数的概念，也让我们从一个角度认识到，经典的黎曼猜想的困难来源于乘法群的交换性。正如我们之前所提的，半稳定性的概念由芒福德引入，目的是用现代代数几何的语言理解希尔伯特的经典工作，这启示我们，有时阅读经典的论文是很有益处的。事实上，以上所讲的是芒福德最重要的工作，他也是借此摘获菲尔兹奖。还有一个例子来自于韦伊（André Weil），20 世纪最伟大的数学家之一，事实上韦伊接受的是十分传统的教育，比如学习拉丁文，希腊文等等，他也因此对西方传统文学十分感兴趣，所以当他开始研究数学时，他可以阅读几个世纪之前的论文。在他的第一个重要工作，即他的博士论文中，他用二十世纪的数学语言理解费马的工作，相信在座的各位都听说过费马大定理，费马是17 世纪的数学家，这与韦伊生活的时代相差了近 3 个世纪。从中我们可以领悟到，应不仅仅局限于学习当代的数学，阅读一些几个世纪之前的数学理论也是十分有趣且有启发性的。这也启示我们，研究数学时应保持思想开放，正如我之前所说，当你精于某一领域时，保持对其他领域的兴趣，和不同的人一起喝杯咖啡，听一听其他学者的观点是很有好处的。事实上，最近在我所在的研究机构，我经常与一个康采维奇的印度学生交流，他的阅读面很广，尽管他是印度人，但是他不仅能阅读英语的文献，而且还能阅读德语、意大利语的文献。举例来说，他曾经读过意大利经典代数几何的文献。二十世纪早期，意大利有一所非常重要的代数几何学校，他们留下了很多意大利语的文献，当今许多数学家并不了解意大利文，因而无法直接阅读这些论文，而这位年轻的印度数学家却可以自如地阅读这些文献。当然，阅读意大利语文献比使用意大利语交谈要简单些。去年，他向我推荐了卡斯泰尔诺沃（Guido Castelnuovo）的一本书，他认为这是他读过的最好的一本书，这也体现出他阅读面很广。正如我之前所讲，如今人们更关注新的问题，从而渐渐遗忘了经典的问题和理论，但回想、反思这些经典问题往往是很有好处的。我并不是说每个人都必须这样做，这只是对某些人的建议。我想表达的是，事实上，当代的数学理论未必涵盖了所有经典的结果。回到我们的问题，我推荐大家阅读芒福德的书，当然我也会推荐大家阅读格罗滕迪克的书，但在这之前需要读过大量的书。也许你们了解，法语并不是格罗滕迪克的母语，他的母语是德语，他十岁之前都生活在德国，后来因为政治环境的问题他搬到了法国。随后他变成了一个法国数学家，他几乎所有与数学有关的文献都用法语书写。格罗滕迪克的工作丰富且重要，他的文献多达以万页记，这其中有他和其他人合作完成的，由他自己独立完成的往往尤其有趣。举例来说，FGA 是一本以他的讲座内容汇编而成的书，这本书是抽象化的典范。事实上，格罗滕迪克研究抽象理论的目的并不仅仅是为了抽象本身，而是为了理解事物，他的一系列书为我们提供了深层次理解抽象理论的典范。当格罗滕迪克思考问题时，他关注于问题的本质和关键，而问题的核心必须用抽象的语言理解、表述。

同学 ：请问我可以问一个问题吗？

教授 ：当然。

同学 ：请问您可以推荐下格罗滕迪克著作中您比较感兴趣的部分吗？

教授 ：当然，除了 FGA 之外，我还推荐由他自己独立完成的 SGA1，这本书是关于基本群的，还有 SGA4，这本书是关于拓扑斯和 sites 的。在昨天的报告中，我解释了为什么拓扑斯的概念十分重要。事实上，尽管这个概念已经诞生 60 年之久，可是并没有被系统性地研究，因而这个概念依旧是几乎全新的。所以我认为如果有一些学生可以研究这个课题，那将是很好的一件事，这是一个很有价值的课题。拓扑斯的概念很抽象，正如我之前所讲，在研究的过程中应注意它与具体的数学相联系。正是因为它的高度抽象性，使得它在数学中应用极其广泛，正如我们在数学中随处可见线性代数，格罗滕迪克认为拓扑斯在数学广泛存在，尽管并没有被大多数人注意到。这个课题对年轻人而言是很有价值的，尤其是当你用拓扑斯的语言理解经典问题时，你将发现一种观察问题的全新的方式。当然，这对年轻人而言是更容易的，因为年轻时，人们更容易学习新的思考方式，而对于年长一些的人，他们习惯于用相同的方式思考，从而更难接受新的思考方式。值得一提的是，我并不是说用同一种方式思考是不好的，但是这只是一种方式，而对同一个问题经常有很多思考的方式。研究拓扑斯时必须要注意和具体的数学相联系，举例来说，格罗滕迪克引入了拓扑斯的概念，是为了在代数几何的框架下定义新的上同调理论，从而寻求解答韦伊猜想，因而这个理论带来了很深刻的具体结果。事实上，正如格罗滕迪克所言，拓扑斯的概念有极其广泛的应用，不仅适用于研究抽象概念，而且可以帮助我们将其与具体的数学相联系。

教授 ：好的，第三个问题是 ：“好的直觉在数学研究中很重要，请问您可以就如何建立好的直觉分享一些建议吗？谢谢！”（赵新锐提供）直觉来自于经验，如果想要建立好的直觉，首先应该阅读数学大师的文献，因为他们提供了很好的范例，不仅可以从中学习重要的工具和理论，而且也提供了该领域的最优结果。我们如何认识美？正是通过欣赏美的事物。我们如何建立好的直觉？正是通过了解那些被最终实现的直觉。所以我的建议是多阅读大数学家的书籍和论文，我已经给出了很多好的例子，比如芒福德和格罗滕迪克。当然，直觉也与个人品味有关，数学家们的个人品味各不相同，有些人习惯于抽象的数学，有些人则钟情于具体的数学。举例来说，格罗滕迪克在抽象思维方面无疑是大师，他的思考方式是如此抽象，以至于他的研究方式令人惊奇，很难被其他数学家模仿、重复。他几乎不思考例子，他唯一关注的例子是平凡的例子，他以极其深刻的方式思考平凡的例子。当你阅读他的卷集时，比如说 EGA，我想你很难找到一个例子。但是他的工作很深刻，可以在数以千记的具体的数学中得到应用。他只关注平凡的例子，举例来说，在几何中，最平凡的例子是“点”，也许你会认为“点”很简单，但是在拓扑斯的框架下，格罗滕迪克引进了新的“点”的概念，而这个概念就要深刻复杂地多，某种意义上说，这是一个天才的定义，而且比起经典的“点”的定义普适地多。从中我们可以领悟到，一个看起来几乎平凡的问题，可以用全新的方式理解、思考。格罗滕迪克带给我们的启示是 ：永远不要走得太快。举例来说，当你在研究一个课题时，你从一些简单的思考开始，格罗滕迪克的例子启示我们，最重要的往往是最平凡的，你必须在平凡的对象上花时间思考。很多数学家习惯于对平凡的事情不屑一顾，格罗滕迪克的态度是慢下来，用大部分时间极其深度地思考那些基础的概念。当然，这是事实上是最困难的事情。除了“点”之外，我认为他工作中出现的唯一的例子是“线”，射影直线，或是仿射直线。某种意义上，他引入了许多方法，使得我们将对一般代数簇的研究划归到对“点”和“线”的研究。当然，这是个很令人惊叹的例子，对绝大多数人，也许是几乎所有人而言，很难做到像格罗滕迪克这样如此深入地研究平凡的例子。但是，毫无疑问的是，当你研究平凡的概念时，你并不是在浪费时间，保持合适的研究速度，在开始研究更加复杂的问题之前充分理解简单的例子，是十分有益的。关于直觉，有一点值得一提，对我们而言，最有力的直觉往往与几何相联系，这与我们人的思考方式有关。我们有能力理解空间，仅仅在其中走一走即可一览无余。所以，身处于空间之中，拥有自由行走、观察的能力，是我们几何直觉的基础。这意味着，对于数学研究而言，我们的直觉往往来自于几何。所以，当我们审视 20 世纪数学的发展时，会发现在各个领域中，很多我们所发展的方法是受益于来自几何的概念。正如我之前提到的“倍立方体”和“三等分角”问题，它们的解决就是得益于“维数”的概念，而“维数”恰恰来自于几何。当然，你们也知道，在过去的几十年里，有许多令人印象深刻的方法被引入到了数论当中。举例来说，费马大定理最终被怀尔斯（Andrew Wiles）证明，而这距离它被提出已经过去了三百五十多年，在这期间数论发展了很多方法和技术。而这些方法在一定意义上与格罗滕迪克的现代代数几何有关联，正是因为它适用范围极其广泛，使得它一定程度上涵盖了这些方法，在格罗滕迪克的观点下，“整数”是一个几何对象，这是“概型”(scheme) 理论的一部分。19 世纪的数论学家们曾梦想用几何方法研究数论问题，这个梦想在 20 世纪被部分实现了，随之而来的是极其深刻的方法得到了发展。这些都体现了几何的力量，事实上，数学的全面发展往往来自于将先进的几何方法应用于其他的领域。一个普适的建议是，当你在研究一个课题时，要经常思考如何用几何的语言叙述你的问题，因为几何所关注的往往与直觉相联系，这样的思考往往能给我们以启发。

洛朗 • 拉福格于 2002 年在人民大会堂获得菲尔兹奖

教授 ：好的，让我们看看下一个问题，第四个问题是 ：“作为学生，我们所解决的问题往往是局部且直接的，所以把握复杂问题全局的能力并不总是被充分地训练，请问您是否可以与我们分享下，您是如何把握问题的整体以及其如何被拆分成证明的各部分的？谢谢！”（赵新锐提供）是的，这个问题很好。在数学研究和学习中，当你想理解某件事，比如当你在读论文或是学习一个新的内容时，你必须首先从局部开始，比如你需要一行一行地阅读证明。所以，绝大多数数学家最初的工作往往都是从局部开始的，随后，问题的整体就会逐渐清晰起来。当然，这往往是在完成很多了工作之后。为了能更好的把握问题的全局，从多个角度思考问题往往是很有好处的。正如我之前所说的，理解即是能从不同角度观察问题，并使它们相互联系。举例来说，我之前提到康采维奇的印度学生，他阅读了很多有关代数几何的内容，既有格罗滕迪克的现代代数几何，也有意大利经典代数几何，这两者是完全不同的。再比如，在代数几何中，格里菲斯（Phillip Griffiths）和哈里斯（Joseph Harris）写过一本很经典的关于代数几何的书，这本书的角度与格罗滕迪克的完全不同。顺便一提，当然，这是一本很好的书，但是里面也有很多错误。所以就此我想给你们一个建议，当你在阅读书籍和论文时，你应该认真检查每一处，不要认为所有内容都是完全正确的，大部分书中都难免有些错误，所以你应该检查。事实上，完成一份完全没有错误的书或者论文是很困难的。有些数学家有几乎不犯错误的好口碑，但是，甚至是这些数学家，有时也难免会有些错误。举例来说，几周之前，我看了一篇关于塞尔（JeanPierre Serre）的采访。塞尔当然是一位大数学家，他写作的效率很高，因此他写了很多书，其中不乏有重要影响力的杰作，而且他也以认真谨慎著称。但是，在这个采访中，他说自己都不愿意打开自己写的书，因为他总是能找到一些需要被改正的问题。而塞尔当然是当今错误最少的数学家之一，这意味着你在读书和论文时，你不应该因为它是大数学家所写，就耻于提出问题。事实上，提出问题并不意味着你不聪明，当然你需要仔细检查，但是确实存在作者犯错的可能，因为即使是塞尔这样的大数学家都难免会出错。比如，如果你在塞尔的书中找到了一个错误，这当然可以给你信心。我的同事达穆尔（Thibault Damour）是相对论领域的专家，他在最近的引力波探测中起到了很重要的作用。事实上，20 年前他和他的一个同事就曾就这种探测方法进行过理论计算。他曾经和我讲过这样一个故事 ：当他还是一个学生的时候，他阅读过很多著名物理学家的论文，尤其是爱因斯坦的论文。有一次，他找到了爱因斯坦论文中的一处错误，这给了他很大的信心，也对他后来的研究是很有好处，这也是他在物理领域的第一个贡献——发现爱因斯坦论文中的错误。事实上，正是因为我们认为大数学家、大物理学家不应该犯错，所以大数学家的错误甚至有可能几十年都不被发现。举例来说，马宁（Yuri Manin）是一个知名的俄国代数几何学家，他的一篇论文在发表 20 余年之后，一个学生注意到马宁犯了一个初等的代数错误，而这导致了整个论文的结果不再可靠。所以，当你在阅读著名数学家的论文时，是有可能发现错误的。从另一个角度说，所有人都可能会犯错，在座的诸位也不例外，所以，也没有必要为自己的错误而感到过分羞愧，犯错并不可怕，关键是要改正错误。在某种意义上，错误也是数学研究过程的一部分。为了尽可能减少错误，一方面需要仔细检查，另一方面也应该多和其他人交流，如果你可以让其他人看看你的工作，这是很好的，因为他可能发现一些你自己没有发现的错误。当然，最适合的检查你工作的人是你自己，你应该十分谨慎，尤其是当你在写“显然”的时候。事实上，在大多数时候，错误都是很显然的，错误在十分复杂的情境下反而发生的比较少。因为当事情显得很简单时，你总是一闪而过，写下“显然”的词句，大多数时候确实很显然，但有时候不光未必显然，而且未必正确。当你在从事研究的时候，或是解决问题的时候，首先你应该尝试用一种近似的方式解决问题，比如组织证明的主要步骤，因为这是一个近似的过程，所以你有可能犯错误，这意味着你需要十分小心，补齐证明中的疏漏之处。当然，正如我之前所说的，即使你已经足够小心，你也仍旧可能犯错，这很正常，也是数学发展过程中必然的。格罗滕迪克曾说 ：畏惧错误即畏惧真理。格罗滕迪克从不害怕犯错误，事实上，他研究数学的方式即是首先断言，甚至猜想某个命题是正确的，但大多数情况下这些命题并非是完全正确的，需要进一步地研究和改进。举例来说，格罗滕迪克和塞尔有过很多交流，塞尔在近似思考的方面并不像格罗滕迪克那样强大，但是塞尔知道很多例子，所以经常是格罗滕迪克提出一个猜想，而塞尔举出一个反例，随后格罗滕迪克再改进这个命题，以规避塞尔所提到的反例。在这个过程下，很快就得到了一个塞尔也无法给出反例的命题，而这个命题就很有可能是正确的。从这个例子中可以看到，格罗滕迪克并不畏惧犯错，事实上，陈述命题正是他对真理的发问。

同学 ：请问格罗滕迪克的思考方式是否与他的哲学观念有关？请问您是否可以就此谈谈呢？

教授 ：是的，我们刚才的问题就是局部的理解和整体的理解，为了研究数学，需要在局部层面十分谨慎，而整体的理解来自于多角度的思考。在我看来，为了真正做有灵魂的数学，需要一些数学之外的熏陶。比如说你刚刚提到了哲学，如果你对哲学，文学或是音乐感兴趣，这就很好。格罗滕迪克就曾说，他并不是一个数学家，而是一个作家，成为一个数学家是出于偶然的机会。事实上，我可以给出很多有关的历史上的例子，比如柯西。柯西是 19 世纪非常重要的数学家，当他还是一个少年时，他的父亲发现他很擅长数学，而他的父亲是拉格朗日的朋友，拉格朗日既是数学家，也是理论物理学家。柯西的父亲问拉格朗日应该如何教育他的孩子，柯西那时只有 12 岁，拉格朗日的建议是柯西应该先学习古典人文学科，比如拉丁语，希腊语和哲学，柯西自己将会随后选择学习数学，而之后发生的事情恰如拉格朗日所说。事实上，几个世纪以来，欧洲的数学家都是这样培养的。良好的教育意味着必须首先学习经典文学，也许他之后会成为科学家，但这段教育经历依旧很有价值，因为经典文学教会他们如何思考。我刚刚所谈的是欧洲的情况，对于中国而言，也可以有相同的做法。中国的历史源远流长，灿烂辉煌，中国的传统文学取之不竭，博大精深。我认为中国的数学家充分了解中国传统文化很有好处。当然，了解其他文明的文化也是很好的，但是，更自然的还是学习了解自己国家的传统文学和文化。我之前举了韦伊的例子，韦伊也是接受这样的教育，事实上，他对拉丁语和希腊语的熟悉程度令人惊叹。他对古文明很感兴趣，比如对梵文和印度文化很感兴趣，他甚至在博士毕业后研究了几年印度文化。从这些例子中，我们可以看到，数学之外的兴趣与熏陶很有好处。在问题的清单中，有专业化的问题，专业化是必要的，这是为了使得在某一领域掌握充分的技术，这是不可避免的。但是专业化带来的问题是对整体图像把握不足，即缺乏整体层面的思考。为了能够从整体角度进行思考，数学之外的熏陶大有帮助，也许物理是最自然的选择，但哲学，中国传统文化，中国书法等等也都能给人很好的启迪。

教授 ：你们的问题都很好，我就此谈了很多，但由于时间的问题，最后我再谈谈自己最近的研究。我从博士以来的主要研究内容是“朗兰兹纲领”，这是现代数学理论中很深刻的一部分，它将代数几何，群论，调和分析等等联系起来。这是由加拿大数学家朗兰兹提出的，他研究数学的方式和格罗滕迪克完全不同，他曾说自己的研究是在大的问题的背景下做小的计算。如果你阅读朗兰兹的论文，你会发现他经常做 SL(2) 中的计算，你也许会认为 SL(2) 是基础的，但事实上他可以在其中做多达百页的计算，他经常通过以多项式为系数来进行计算，有时候也会有基本的积分，这些计算都是基础的。但是你会发现跟上他的脚步是很困难的，事实上，理解朗兰兹计算的唯一方法就是自己进行一遍计算。通过不断地计算，他会突然得到一个更广泛的想法，比如一个对一般约化群成立的命题。事实上，我几乎无法找出和朗兰兹纲领一样深刻而普适的课题。换言之，当你承认朗兰兹的命题，即函子性原则和朗兰兹对应，除了显然的情况，第一个不平凡的例子都十分困难，而且有十分强大的应用效果，而这些的提出都是基于朗兰兹的基础计算。所以，某种意义上，格罗滕迪克说自己更像一个作家，那么朗兰兹就更像一个物理学家，他研究数学的方式和物理学家很相像。我所说的物理学家并非理论物理学家，而是实验物理学家。朗兰兹在数学中也进行实验，而实验的过程即是这些基础计算，随后他产生了一个普适的想法，这与实验物理学家通过实验而得到一个广泛使用的物理定律如出一辙，比如牛顿得到万有引力定律，19世纪麦克斯韦得到电磁学基本定理。所以，研究数学的方式有很多。现在，我对拓扑斯理论很感兴趣，对我而言，这是最有趣的课题。很感谢你们的问题，这些问题都非常好。

【编者简介】

赵新锐，中国科学技术大学少年班学院 2016级学生，在校期间曾获2017、2018 年度国家奖学金。

麻希南，中国科技大学数学学院教授。1987 年毕业于杭州大学物理系，1996 年获得杭州大学数学博士。